Задания:
1.Изобразить зависимость между x и y графически точками координатного поля (изобразить корреляционное поле выборки).
2. Для каждого значения хi, i = 1…..,7 (т.е. для каждой строки корреляционной таблицы) найти групповые средние по признаку Y и изобразить эмпирическую линию регрессии Y по X.
3. Для каждого значения yi, j=1…..5 (т.е. для каждого столбца корреляционной таблицы) найти групповые средние по признаку Х и изобразить эмпирическую линию регрессии Х по Y
4. В предположении о наличии линейной регрессии Y по Х, найти и изобразить теоретическую линию регрессии Y по Х в виде
Yx = b0 + b1*x,
Вычисляя коэффициенты b0 и b1 в соответствии с формулами, полученными из метода наименьших квадратов.
5. В предположении о наличии линейной регрессии Х по Y, найти и изобразить теоретическую линию регрессии Х по Y в виде
Xy = a0 + a1*y, вычисляя коэффициенты a0 и a1 в соответствии с формулами , полученными из метода наименьших квадратов
6. Найти выборочный коэффициент корреляции признаков Х и Y
r = rxy.
Используя найденное значение r, проверить значимость коэффициента корреляции между переменными X и Y для уровня значимости α = 0,05 (т.е. подтвердить или опровергнуть гипотезу об отсутствии линейной корреляционной зависимости меду X и Y в генеральной совокупности
Использовать статистику

Критическое значение tкр. Определить по таблице критерия Стьюдента при уровне значимости α = 0,05 или, соответственно, при доверительной вероятности γ = 1 - α = 1 – 0,05 = 0,95 и при k = n – 2 = 100 – 2 = 98 степенях свободы.

Решение:
1.Изобразим зависимость между x и y графически точками координатного поля (корреляционное поле выборки):

2. Для каждого значения хi, i = 1…..,7 (т.е. для каждой строки корреляционной таблицы) найдем групповые средние по признаку Y
X
nХ
0,6 0,98 5
1,8 1,24 13
3,0 1,77 27
4,2 2,45 23
5,4 2,52 19
6,6 2,74 10
7,8 3,43 3
- - n = 100

Изобразим эмпирическую линию регрессии Y по X:

3. Для каждого значения yi, j=1…..5 (т.е. для каждого столбца корреляционной таблицы) найдем групповые средние по признаку Х:
Y
nY
0,5 1,32 5
1,3 2,24 22
2,1 4,06 43
2,9 5,31 27
3,7 7,40 3
- - n = 100

Изобразим эмпирическую линию регрессии Х по Y:

4. Для облегчения расчетов перейдем к условным статистическим величинам:
и

Здесь х0 = 3 (варианта с наибольшей частотой) , hx = 1,2.
у0 = 2,1 (варианта с наибольшей частотой) , hу = 0,8.
Получаем новую корреляционную таблицу:
v
u -2 -1 0 1 2 Итого
-2 2 3 - - - 5
-1 3 8 2 - - 13
0 - 11 16 - - 27
1 - - 13 10 - 23
2 - - 9 10 - 19
3 - - 3 6 1 10
4 - - - 1 2 3
Итого: 5 22 43 27 3 n = 100

Вычислим вспомогательные величины:
_
u = Σ ui ni / n = (-2*5 + (-1)*13 + 0*27 + 1*23 + 2*19 + 3*10 + 4*3) / 100 =

= 80 / 100 = 0,8

_
v = Σ vj nj / n = (-2*5 + (-1)*22 + 0*43 + 1*27 + 2*3) / 100 = 1 / 100 = 0,01

__
u2 = Σ ui2 ni / n = ((-2)2*5 + (-1)2*13 + 02*27 + 12*23 + 22*19 + 32*10 +

+ 42*3) / 100 = 270 / 100 = 2,7

__
v2 = Σ vj2nj / n = ((-2)2*5 + (-1)2*22 + 02*43 + 12*27 + 22*3) / 100 = 0,81
__ _
σu2 = u2 – (u)2 = 2,7 – 0,82 = 2,06 => σu = 1,435
__ _
σv2 = v2 – (v)2 = 0,81 – 0,012 = 0,8099 => σv = 0,900
__
uv = Σ ui vj nij = 102 / 100 = 1,02

Вычислим коэффициент корреляции между случайными величинами u и v:
__ _ _
uv – u*v 1,02 – 0,8*0,01
ruv = ———— = —————— = 0,784
σu σv 1,435*0,9

Вернемся к исходным случайным величинам х и у:
_ _
Х = u*hx + x0 = 0,8*1,2 + 3 = 3,96
_ _
Y = Y*hy + x0 = 0,01*0,8 + 2,1 = 2,108

σх = h*σu = 1,2*1,435 = 1,722

σy = h*σv = 0,8*0,9 = 0,72

Коэффициент корреляции между случайными величинами Х и Y равен коэффициенту корреляции между случайными величинами u и v:
rху = ruv = 0,784

Коэффициент корреляции говорит о том, что связь между Х и Y прямая и довольно тесная.

В предположении о наличии линейной регрессии Y по Х, найдем и изобразим теоретическую линию регрессии Y по Х в виде
Yx = b0 + b1*x:
_ σY _
Yx – Y = rxy — (Х – Х)
σх

Имеем:

0,72
Yx – 2,108 = 0,784 * ——— * (Х – 3,96)
1,722

Окончательно получаем: Yx = 0,328Х + 0,81.

5. В предположении о наличии линейной регрессии Х по Y, найдем и изобразим теоретическую линию регрессии Х по Y в виде
Xy = a0 + a1*y:
_ σX _
XY – X = rxy — (Y – Y)
σY

Имеем:
1,722
XY – 3,96 = 0,784 * —— * (Y – 2,108)
0,72
Окончательно получаем: XY = 1,875Y + 0,007.

6. Выборочный коэффициент корреляции признаков Х и Y:
r = rxy = 0,784.
Проверим значимость коэффициента корреляции между переменными X и Y для уровня значимости α = 0,05.
Выполним проверку статистической значимости коэффициента корреляции с помощью t-статистики которая имеет распределение Стьюдента:

tтабл (α = 0,05 ; k = n - 2 = 98) = 1,66
Получаем |tрасч| > tтабл , т.е. проверка статистической значимости коэффициента корреляции показывает, что коэффициент корреляции значимо отличен от нуля.
Таким образом, коэффициент корреляции статистически значим.

Задача 2. Анализ временных рядов
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 0,7 0,8 0,9 0,9 1,0 1,0 1,1 1,1 1,1 1,2

Дан временной ряд в виде таблицы значений yt или xt при t = 1, …, n
1. Найти среднее значение
2. Произвести сглаживание ряда методом скользящей средней при m = 3.
3. Выделить линейный тренд.
4. Если можно предположить наличие у временного ряда сезонных колебаний найти индексы сезонности
5. Спрогнозировать значение временного ряда в момент времени (n+1).

Решение:
1. Найдем среднее значение временного ряда по формуле средней арифметической простой:

2. Произведем сглаживание ряда методом скользящей средней:
Период Y(t) Суммарное значение за три периода Сглаженное значение
1 0,7 - -
2 0,8 2,4 0,80
3 0,9 2,6 0,87
4 0,9 2,8 0,93
5 1,0 2,9 0,97
6 1,0 3,1 1,03
7 1,1 3,2 1,07
8 1,1 3,3 1,10
9 1,1 3,4 1,13
10 1,2 - -

Изобразим исходные данные и сглаженные значения на графике:

3. Из графика исходных данных видно, что Y(е) c течением времени имеет тенденцию роста. Для определения характера тенденции построим ее модель.
Рассмотрим модель первого порядка, то есть попытаемся описать тенденцию изучаемого явления с помощью линейного уравнения:
.
Для нахождения коэффициентов уравнения рассмотрим следующую систему уравнений:

Построим и заполним вспомогательную таблицу.
Получаем систему уравнений:
<=>
82,5а1 = 4,1
а1 = 0,05
Тогда а0 = (9,8 – 55*0,05)/10 = 0,71
Период y t yt t2 yt
1 0,7 1 0,7 1 0,76
2 0,8 2 1,6 4 0,81
3 0,9 3 2,7 9 0,86
4 0,9 4 3,6 16 0,91
5 1 5 5 25 0,96
6 1 6 6 36 1,00
7 1,1 7 7,7 49 1,05
8 1,1 8 8,8 64 1,10
9 1,1 9 9,9 81 1,15
10 1,2 10 12 100 1,20
Сумма 9,8 55 58 385 9,801

Решив систему, мы получили следующие значения параметров уравнения: а0 = 0,71 и а1 = 0,05.
Получаем следующее уравнение, описывающее тенденцию изменения Y: 0,71 + 0,05*t.
Изобразим полученную линию тренда на графике:

4. Спрогнозируем значение временного ряда в момент времени 11:
0,71 + 0,05*11 = 1,26.

Список использованной литературы:

1) Елисеева И.И., Юзбашев М.М. «Общая теория статистики: учебник» – / Под ред. чл-корр. РАН И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2006;
2) «Теория статистики» / Под ред. проф. Р.А. Шмойловой, – М.: Финансы и статистика, 2004;
3) “Общая теория статистики”, под редакцией А.А.Спирина, О.Э.Башиной, - М.: Финансы и статистика, 2007;
4) «Экономическая статистика», под ред. Ю.Н. Иванова, - М.: ИНФРА-М, 2004.